A tante persone la parola algebra evoca solo il ricordo infelice del senso di smarrimento di fronte a equazioni indecifrabili. È proprio da queste esperienze che nasce la sfida di Paul Lockhart in The mending of broken bones: a modern guide to classical algebra (Riparare le ossa rotte: guida moderna all’algebra classica), un libro che invita il lettore comune ad apprezzare – e magari perfino a praticare – una tradizione matematica secolare spesso chiamata “manipolazione simbolica”. Il titolo rimanda all’etimologia della parola algebra, dall’arabo al-jabr, che significa “ricomposizione”, “raddrizzamento”, “riparazione”, come quando si riallineano le ossa fratturate. Ma il riferimento di Lockhart non è solo linguistico: l’autore sa bene che, oltre alle fratture reali, ci sono anche parecchie fratture emotive che devono essere sanate.

Lockhart, matematico che ha insegnato prima alla Brown university del Rhode Island, alla University of California Santa Cruz e poi, per molti anni, alla Saint Ann’s, una scuola privata progressista di Brooklyn, sostiene che la “frattura” nasce con il programma di matematica ormai sclerotizzato che si insegna nelle scuole. È lì che agli studenti viene servito l’indigesto panino “algebra-geometria-algebra”. In questo libro, Lockhart prova a dimostrare che non è un semplice spreco di calorie.

The mending of broken bones è il quarto saggio con cui Lockhart prova a rieducare il pubblico alla matematica. In tutti i suoi libri è evidente che, per quanto ami fare matematica, forse ama ancora di più riuscire a farla amare agli altri. La parola chiave è proprio “fare”. L’obiettivo di Lockhart è risvegliarne l’amore attraverso un coinvolgimento diretto nei concetti matematici. Molti continuano a considerare la materia come un semplice “strumento per la scienza e la tecnologia”, e negli Stati Uniti il livello di competenza è in calo da più di vent’anni, ma non sono queste preoccupazioni quotidiane a spingere l’autore nella sua opera di evangelizzazione. Per Lockhart, infatti, “la bellezza della matematica sta proprio nella sua totale irrilevanza rispetto alla vita pratica”. Lockhart sostiene – con convinzione, a voce alta e senza scusarsi – che la matematica è la più pura delle arti e la più fraintesa:

In questa antica forma d’arte c’è una profondità che toglie il fiato e una bellezza capace di spezzare il cuore. È paradossale che per tante persone la matematica sia l’antitesi della creatività. Non riescono ad apprezzare una forma d’arte più antica di qualsiasi libro, più profonda di qualunque poesia e più astratta di ogni astrazione. E la colpa è della scuola, un ciclo triste e infinito in cui insegnanti innocenti finiscono per fare danni a studenti altrettanto innocenti. Potremmo divertirci tutti molto di più.

Queste esortazioni arrivano dal primo libro di Lockhart, Contro l’ora di matematica (Rizzoli 2010), una sorta di manifesto che, nei primi anni duemila, cominciò a circolare in forma quasi clandestina tra matematici e insegnanti. Lockhart scrive che la didattica tradizionale è un “incubo” di “idee senza senso, capaci di spegnere ogni entusiasmo”, e che un’“avventura dell’immaginazione ricca e affascinante è stata ridotta a uno sterile insieme di nozioni da memorizzare e procedure da applicare”. La matematica dovrebbe significare “farsi domande, giocare, divertirsi con la propria immaginazione”. I bambini, osserva, lo sanno già: per loro, “imparare e giocare è la stessa cosa”. Quando è insegnata con questo spirito, la matematica può diventare un’attività gioiosa, che accompagna tutta la vita.

Contro l’ora di matematica, come ogni manifesto che si rispetti, è un miscuglio di sarcasmo, esortazioni, ironia, autoironia, slanci poetici e un filo di rabbia. Ma, soprattutto, offre l’opportunità di divertirsi con i concetti matematici. Lockhart, per esempio, ridà vita all’arcinota formula per calcolare l’area di un triangolo, restituendole il senso della scoperta. Il fatto che la somma di due numeri dispari sia sempre un numero pari, spiega, è semplice come accostare due gruppi di sassolini fino a farli combaciare: “Sembra quasi di sentire l’esclamazione di sorpresa quando i sassolini s’incastrano”.

Il nuovo libro di Lockhart dedicato all’algebra segue i suoi saggi precedenti su aritmetica e geometria, due materie che, almeno agli inizi, possono essere assimilate ai giochi per bambini. Aritmetica (Codice 2024) presenta lo studio dei numeri interi e delle operazioni fondamentali (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) come un’esplorazione spontanea degli schemi che emergono quando si dispongono degli oggetti – come i sassolini di prima – e sui vari linguaggi simbolici, dai bastoncini intagliati alle cifre, che nel tempo sono nati per rappresentarli e comunicarli. Il lettore finisce così per apprezzare più a fondo l’utilità della notazione posizionale, come quella del nostro sistema decimale basato sulle potenze di dieci, senza dimenticare l’invenzione decisiva del numero zero (0), entrambe di origine indo-araba. L’ultimo capitolo è un invito a cimentarsi con forme più elaborate di conteggio, dal numero possibile di mani di poker alle diverse disposizioni dei commensali intorno a un tavolo. Problemi che possono sembrare semplici rompicapi da cervelloni, ma che in realtà costituiscono le fondamenta della teoria delle probabilità moderna.

Measurement (Belknap 2012) è l’introduzione a un “universo in cui forme e schemi bellissimi scorrono davanti agli occhi e fanno cose curiose e sorprendenti”. Pensato come antidoto al programma scolastico tradizionale di geometria, il libro parte dai triangoli e arriva alla geometria dello spaziotempo e ai collegamenti tra movimento e forma. Ci sono le equazioni, ma anche illustrazioni disegnate a mano. E qua e là spuntano piccole soste ricreative, momenti in cui siamo invitati con gentilezza a spingerci un po’ oltre – a giocare – con un’idea o un esempio nuovo. L’area di un triangolo è collegata a quella del rettangolo che lo contiene, certo. Ma che dire di un rettangolo circoscritto da un cerchio, o di un parallelepipedo rettangolo inscritto in una sfera? Meglio tenere a portata di mano un foglio e una matita.

Domande che non sono pensate come compiti da svolgere, ma come occasioni di esplorazione. Alcune, in effetti, sembrano non avere una soluzione. Man mano il libro richiede sempre di più, forse anche troppo. Lockhart cerca di spingere, con delicatezza ma con decisione, a pensare come un matematico, e con questo arrivano gli alti e bassi tipici di ogni processo creativo. “Non voglio scusarmi per la difficoltà”, scrive. “A colazione vi sentirete dei geni, a pranzo degli idioti. È successo a tutti”. A tratti si avverte la presenza di un insegnante appassionato che si lascia vincere dalla frustrazione. Ma spesso Lockhart lo fa proprio per convincerci che la fatica del matematico è la stessa di qualsiasi artista e che vale la pena affrontarla.

E l’algebra? Per Lockhart è “la sottile arte di aggrovigliare e sciogliere informazioni numeriche astratte”. Ed è proprio “astratte” la parola chiave. Non stiamo più risolvendo i problemi quotidiani “del cantiere edile o del commercialista”. Ci facciamo

guidare dalla curiosità e dall’estetica. Ci lasciamo alle spalle il mondo rumoroso e complicato della realtà fisica e ci spostiamo su un terreno più calmo e pacifico, fatto di schemi astratti e di bellezza ideale, un luogo che mi piace chiamare Realtà Matematica.

Ok, sì, ma non subito. Di solito facciamo conoscenza con l’algebra cercando di risolvere problemi espressi in forma testuale: “Sto pensando a un numero che, se faccio delle cose, mi dà lo stesso risultato che ottengo facendone altre. Che numero è?”. A volte proviamo a condire il tutto con una storiella: magari dobbiamo scoprire l’età dello zio di qualcuno o quanti spiccioli ha in tasca un amico. Nel 1850 avanti Cristo, in un problema scritto su una tavoletta cuneiforme babilonese, il numero da trovare era il peso di una pietra misteriosa:

Ho trovato una pietra ma non l’ho pesata. Dopo aver aggiunto un settimo del suo peso, e un undicesimo di questo nuovo peso, il totale era un manah. Qual era il peso
originale?

Se qualcuno dice: “Ho diviso dieci in due parti e, moltiplicando l’una per l’altra, il risultato è ventuno”, allora sapete che una delle due parti è cosa, e l’altra è dieci meno cosa. Moltiplica dunque cosa per dieci meno cosa: ottieni dieci cosa meno un quadrato, che è uguale a ventuno.

Oggi non useremmo la parola “cosa” ma una più familiare x, una convenzione introdotta secoli dopo, insieme ad altre scorciatoie simboliche come + oppure = o l’esponente 2 per indicare il quadrato. Nel linguaggio algebrico moderno, ciò che ci sta dicendo al Khwarizmi è che x(10 – x) = 21, ma anche che x(10 – x) = 10x – x2 (il risultato del prodotto di “cosa per dieci meno cosa”). Dunque 10x – x2 = 21. Per ricomporre il numero “frantumato” in questa equazione – dunque per “ripararlo” – l’algebra usa il concetto di “bilanciamento”. Il più classico esempio di bilanciamento, sommare lo stesso numero a entrambi i membri, è solo uno dei tanti modi ingegnosi per riscriverla – o per raccontare la stessa storia in un’altra forma – così da far emergere la misteriosa “cosa”. Quando identifichiamo la cosa con un numero, la chiamiamo radice. In questo esempio, le radici sono due, 3 e 7: sostituendo x con uno di questi valori (il famigerato “mettere un numero al posto della x”) e facendo i conti, si scopre che i due membri dell’equazione originaria sono uguali. Il numero 21 è stato “ricomposto”.

Fino all’ottocento gli algebristi erano soprattutto potatori d’alberi: sfoltivano equazioni ed estraevano radici. Le loro scoperte più interessanti erano procedure valide in casi generali, indipendenti dai dettagli specifici della storia da cui prendeva forma l’equazione. Al Khwarizmi ne ideò alcune, la più celebre delle quali è la formula quadratica, capace di farci oltrepassare il guardiano di Churchill e di trovare le radici delle equazioni di secondo grado. Formule più elaborate furono poi scoperte per le equazioni di terzo e quarto grado, quelle cose in cui, nelle storie matematiche, ci sono potenze al cubo e alla quarta.

Nel sedicesimo secolo trovare formule di questo tipo era insieme un motivo d’orgoglio e una fonte di guadagno: spesso i matematici partecipavano a gare pubbliche di risoluzione di problemi. Il gioco aveva una regola precisa: nelle formule si potevano usare solo i numeri presenti nell’equazione e un ristretto insieme di operazioni, le più complesse delle quali erano le radici quadrate, cubiche e simili, chiamate anche “radicali”. Una formula che permette di trovare le radici rispettando questi vincoli è detta “soluzione per radicali”. Ricavarla significava ottenere un’espressione simbolicamente semplice e applicabile in modo generale. Come osserva Lockhart, “è difficile credere che questo non fosse anche l’obiettivo finale degli antichi”. È anche un esempio dell’estetica minimalista che guida l’arte matematica.

Il grande salto verso l’algebra moderna ci fu quando i matematici cominciarono a sospettare che una soluzione generale per radicali dell’equazione di quinto grado (la quintica) fosse impossibile. Se le cose stavano così, voleva dire che il metodo aveva dei limiti e bisognava trovare nuove soluzioni. È un tema ricorrente nelle scienze: quando la fisica classica non è più riuscita a spiegare i risultati di certi esperimenti, matematici e fisici hanno inventato il linguaggio della fisica quantistica e hanno cercato un nuovo insieme di leggi naturali. In biologia, il fatto che i caratteri ereditari non si mescolano ma si combinano ha spinto a ipotizzare l’esistenza di unità discrete di ereditarietà, portando infine alla scoperta dei geni.

Quando si tentò senza successo di trovare una soluzione per radicali all’equazione di quinto grado, emersero nuove idee algebriche. Nel 1830 il matematico francese Évariste Galois, appena espulso dall’università e reduce da un periodo in carcere per tradimento, annunciò di aver scoperto che la chiave della soluzione stava nelle relazioni tra le radici, un elemento implicito nel fatto che ciascuna di esse era una soluzione della stessa storia, e quindi ognuna poteva essere la “cosa”. Galois cominciò così a vedere le radici come equivalenti alla storia stessa, cioè all’espressione matematica che le definiva. La leggenda narra che mise per iscritto questa intuizione e tutte le sue ramificazioni in un furioso lampo di genio la notte prima di morire in duello, a soli vent’anni.

Ai tempi di Galois il concetto di “numero” si era evoluto ben oltre le sue origini numeriche naturali. La traccia fossile di questa trasformazione è rimasta nella nomenclatura: dai numeri “naturali” si passa ai numeri “razionali” (le frazioni) e agli “irrazionali”, che non possono essere espressi come frazioni, come la famigerata radice quadrata di due, la cui scoperta, si dice, fu così sconvolgente da provocare perfino episodi di violenza tra i filosofi nell’antica Grecia. Numeri razionali e irrazionali sono raggruppati sotto il nome di numeri “reali”, associati alle misure degli oggetti materiali. E poi arrivano i numeri “complessi”, che a un orecchio inesperto potrebbero sembrare un riferimento alla confusione; in realtà il nome deriva dal fatto che è meglio pensarli come un complesso, cioè un accoppiamento di due numeri reali.

Il più noto tra i numeri complessi è la radice quadrata di meno uno, indicata con la lettera i, che sta per “immaginario”. Fu postulata come “la cosa che, elevata al quadrato, dà meno uno”: era evidentemente un frutto dall’immaginazione. Il matematico Barry Mazur, nel suo piccolo gioiello Immaginare la matematica (Orme editori 2005), descrive questo tipo di salto concettuale come “concedere un permesso”. A questo proposito, racconta la storia di Gabriel García Márquez che, leggendo le prime righe della Metamorfosi di Kafka, cadde dal divano per lo stupore: “Non sapevo che si potesse fare una cosa del genere!”, avrebbe esclamato. Permessi del genere si ritrovano in tutte le arti (Arnold Schoenberg ha dato il permesso di comporre musica atonale; Marcel Duchamp ha dato il permesso di trattare oggetti quotidiani come reliquie), e anche nella matematica. Galois e altri hanno fatto la stessa cosa con le espressioni simboliche, che usano lettere e simboli al posto dei numeri. Da lì è nata la nuova matematica e sono stati concessi altri permessi, grandi e piccoli.

Galois aveva capito che la cosa importante era concentrarsi sulle relazioni tra le radici, non sul fatto di poterle esprimere in termini di quantità note. Si era reso conto che tra le radici di un’equazione c’era una sorta di simmetria. Per esempio, i potrebbe benissimo essere –i, dato che un numero e il suo opposto, elevati al quadrato, producono lo stesso risultato. Inventare i significa quindi introdurre automaticamente anche –i, la sua immagine speculare indistinguibile dal punto di vista algebrico; è un po’ come girare il materasso: una trasformazione che non cambia nulla né del letto né della stanza. Le simmetrie della natura, dunque, potevano essere codificate come simmetrie nei sistemi di equazioni, e da esse emergevano nuove caratteristiche naturali come soluzioni: le equazioni che descrivevano l’elettrone, per esempio, suggerivano l’esistenza del positrone prima che questo fosse osservato in via speri­mentale.

Non è tanto una questione di regole… quanto di scelte creative che possono piacerci o meno, come artisti matematici. Se riusciamo a creare qualcosa di vivo e interessante o perfino (Dio ci aiuti) utile, il nostro lavoro sarà apprezzato e riconosciuto.

I gruppi sono solo l’inizio. Se aggiungiamo la moltiplicazione otteniamo gli “anelli”, se aggiungiamo la divisione otteniamo i “campi”, e ciascuna di queste strutture ha le sue complessità. Più in generale, l’algebra astratta studia la natura delle relazioni in mondi di simboli immaginari che hanno superato prove di profondità ed eleganza. Così se lo studio dei gruppi, degli anelli, dei campi e delle loro varianti può sembrare un semplice esercizio di deduzione a partire da poche regole di manipolazione simbolica, sostenerlo sarebbe riduttivo quanto dire che la poesia, la pittura o la musica consistono solo nel muovere parole, chiazze di colore o frammenti di suono.

Nata da origini modeste, l’algebra arriva a vette vertiginose, e può diventare indubbiamente complessa. La sfida è inevitabile. Ma per chi è disposto a misurarsi con la materia, The mending of broken bones offre molto. Anch’io, da matematico, ho trovato qualcosa di nuovo in alcuni degli esempi dettagliati di Lockhart, tra cui una profonda digressione tecnica sulla teoria dell’eliminazione (quell’affascinante e complicata branca della matematica che si occupa di individuare forme rappresentative semplici di particolari espressioni algebriche). Un lettore curioso e indulgente potrà magari sorvolare su quelle sezioni invece di chiudere il libro; per chi ha un qualche rudimento di matematica, anche se magari ha appena cominciato a chiedersi dove può portarlo, questo libro sarà una lettura stimolante e corroborante. I parzialmente iniziati potrebbero ritrovarsi a immaginare una vita nella matematica. I professionisti potrebbero ricordarsi di ciò che li ha attratti verso la materia fin dall’inizio.

Inviterei chi ha molta curiosità e magari non troppe basi a cominciare con Aritmetica, proseguire con Measurement e poi arrivare a Mending (Contro l’ora di matematica rischia solo di farvi ribollire il sangue). Se vi è mai piaciuto giocare con i blocchi, disegnare forme o collezionare qualsiasi cosa, dentro di voi c’è un amore latente per la matematica che aspetta solo di essere acceso (o riacceso). Perfino Darwin ha ammesso che la sua precoce “impazienza” era stata “sciocca” e che gli precluse l’accesso a quel “senso in più” posseduto dai matematici.

Lockhart è convinto, nel profondo, che ciascuno di noi sia capace di provare quell’esperienza di autentica meraviglia e, come l’anonimo insegnante di Churchill, vorrebbe che ognuno riuscisse a cogliere “un barlume di questa bellezza e di questa purezza, un’attività innocua e gioiosa che dà un piacere inestimabile a tantissime persone da migliaia di anni”. Ora che le macchine svolgono gran parte del lavoro di fatica, in questa nostra era dell’intelligenza artificiale, forse l’unica cosa che ci rimane davvero è imparare ad apprezzare l’arte intellettuale della matematica e provare a esercitarla. Lockhart ci offre una strada per arrivarci. Che la riparazione abbia inizio. ◆ fas

Dan Rockmore è professore di scienza computazionale nel Dartmouth College del New Hampshire, negli Stati Uniti. Questo articolo è una recensione del libro di Paul Lockhart The mending of broken bones: a modern guide to classical algebra (Belknap 2025). È uscito sulla New York Review of Books con il titolo “In defense of algebra”.